Test \(d\) de \(H_0:\theta\in\Theta_0\) contre \(H_1:\theta\in\Theta_1\)
Variable aléatoire à valeur dans \([0,1]\). $$d:\Omega\to[0,1].$$
- si \(d\in\{0,1\}\), on dit que le test est
déterministe
- si \(d=1\) (resp. \(d=0\)), on décide \(H_1\) (resp. \(H_0\))
- sinon, on dit que le test est
randomisé
- il faut alors comprendre que \(d(\omega)\) est la
Probabilité de décider \(H_1\) (conditionnellement aux données)
- la question centrale est la construction de "bons" tests \(\to\) deux critères :
1.
spécificité : contrôler la probabilité de faux-positifs, i.e. \({\Bbb E}_\theta[d]\) doit être petite lorsque \(\theta\in\Theta_0\)
2.
sensibilité : contrôler la probabilité de faux-négatifs, i.e. \({\Bbb E}_\theta[d]\) doit être grande lorsque \(\theta\in\Theta_1\)
- on appelle taille (resp. Puissance) du test la quantité \(\sup_{\theta\in\Theta_0}{\Bbb E}_\theta[d]\) (resp. \(\inf_{\theta\in\Theta_1}{\Bbb E}_\theta[d]\))
- on dit que le test est sans biais si \(\sup_{\theta\in\Theta_0}{\Bbb E}_\theta[d]\leqslant\inf_{\theta\in\Theta_1}{\Bbb E}_\theta[d]\)
- on dit que le test est d'hypothèses simples (resp. Hypothèses composites) si \(\Theta_0\) et \(\Theta_1\) sont des singletons (resp. Sinon)
